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Como identificar as variáveis da equação de estado
Conheça algumas dicas para facilitar a determinação das variáveis da equação de estado.
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A teoria de controle moderno, que trata de uma abordagem para análise e projeto de sistemas de controle, começou a ser desenvolvida para suprir a necessidade de melhorar o desempenho e reduzir a complexidade desses sistemas, tendo como base a utilização do conceito de estado.
O estado corresponde ao conjunto mínimo de variáveis que são capazes de determinar todo o comportamento de um sistema dinâmico e estas variáveis são denominadas variáveis de es tado.
A equação de estado é a relação matemática estabelecida entre o estado, as variáveis de estado e a entrada do sistema e é apresentada da seguinte forma:
na qual  representa o vetor de estado, x é um vetor formado pelas variáveis de estado, u é o vetor das entradas, A é a matriz de estado e B é a matriz de entrada.
Ao analisar um sistema, é importante ter o conhecimento de como determinar os tipos das variáveis que são disponíveis para que possa ser estabelecida a relação correta entre alguma excitação nas entradas e as respostas nas saídas.
As variáveis de estado são fáceis de serem identificadas quando é conhecida a forma de se obter a energia dos elementos que compõem o sistema. Pois, energia é uma função de estado, ou seja, pode ser obtida a partir das variáveis de estado.
As variáveis de entrada estão associadas à entrada de energia no sistema. Como exemplo, pode ser citado uma fonte de tensão ou uma fonte de corrente nos sistemas elétricos ou ainda uma força em um sistema dinâmico.
As saídas são determinadas pelo tipo de resposta que se espera do sistema e estas podem ser funções das variáveis de entrada e das variáveis de estado.
Na Fig. 1 é apresentado um circuito RLC que pode ser usado como exemplo básico para aplicação da abordagem por variáveis de estado.
;)
Neste circuito, é possível observar que, pela lei de Kirchhoff das tensões, é obtida a seguinte relação:
na qual VL é a tensão nos terminais do indutor, Vc é a tensão nos terminais do capacitor, V0 é a tensão de saída e Vi é a tensão de entrada.
É sabido também que a corrente que passa no ramo do capacitor é dada por:
No momento de identificar as variáveis, é possível observar que a corrente que passa no ramo do indutor e a tensão nos terminais do capacitor podem ser utilizadas como variáveis de estado, já que a energia no indutor depende da corrente que nele circula e a energia no capacitor depende da tensão em seus terminais.
A energia entra no circuito pela fonte de tensão, assim:
A saída determinada para esta situação é a tensão nos terminais do resistor e com isso:
Depois de determinar os tipos de variáveis, as seguintes relações podem ser obtidas:
Utilizando a equação de estado como uma equação matricial, torna possível a análise de sistemas com múltiplas entradas, múltiplas saídas e em domínios diferentes, como o domínio do tempo ou o domínio da frequência.
Os problemas abordados pela teoria de controle moderno envolvem fenômenos elétricos, magnéticos, dinâmicos ou até termodinâmicos e, desta forma, a boa escolha das variáveis se torna crucial na análise e síntese de circuitos.
Sydeney Wagner
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